05. Tετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

6 Απρίλιος 2026

Τροποποιημένο

23 Απρίλιος 2026

1 Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού

Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού είναι μια βασική έννοια της Άλγεβρας που συνδέεται άμεσα με το εμβαδόν του τετραγώνου και το Πυθαγόρειο θεώρημα.

1.1 1. Θεωρία Τετραγωνικής Ρίζας

1.1.1 Ορισμός και Συμβολισμός

  • Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού \(\alpha\) ονομάζεται ο θετικός αριθμός x, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό \(\alpha\). δηλαδή \[\sqrt{a}=x \quad \text {αν } \quad x^2=α\]
  • Συμβολίζεται με \(\sqrt{\alpha}\).
  • Ο αριθμός \(\alpha\) κάτω από τη ρίζα ονομάζεται υπόρριζη ποσότητα, ενώ το σύμβολο \(\sqrt{ \quad}\) ονομάζεται ριζικό.
  • Επειδή \(0^2 = 0\), ορίζουμε ότι \(\sqrt{0} = 0\).

1.1.2 Βασικές Ιδιότητες

  • Αν \(\sqrt{\alpha} = x\), τότε πρέπει υποχρεωτικά ο \(x\) να είναι θετικός ή μηδέν (\(x \geq 0\)) και το τετράγωνό του να ισούται με την υπόρριζη ποσότητα (\(x^2 = \alpha\)).
  • Για κάθε θετικό αριθμό \(\alpha\), ισχύει η σχέση: \((\sqrt{\alpha})^2 = \alpha\).
  • Δεν ορίζεται ρίζα αρνητικού αριθμού, καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός (π.χ. η \(\sqrt{-25}\) δεν έχει νόημα).
  • Προσοχή: Είναι λάθος να γράφουμε \(\sqrt{25} = -5\), διότι η τετραγωνική ρίζα εξ ορισμού είναι θετικός αριθμός. Επίσης, \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\).

1.1.3 Πράξεις με Ρίζες

  • Γινόμενο: Η ρίζα ενός γινομένου ισούται με το γινόμενο των ριζών: \(\sqrt{\alpha \cdot \beta} = \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta}\).
  • Πηλίκο: Η ρίζα ενός πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ριζών: \(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}\).
  • Άθροισμα (Προσοχή!): Γενικά ισχύει ότι \(\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\).

1.2 Παραδείγματα

1.2.1 Λυμένες Ασκήσεις

  1. Υπολογισμός Ριζών Φυσικών Αριθμών: Να βρεθούν οι αριθμοί \(\sqrt{25}, \sqrt{49}, \sqrt{64}, \sqrt{121}\).
    • Λύση: Αναζητούμε θετικούς αριθμούς που το τετράγωνό τους δίνει την υπόρριζη ποσότητα.
      • \(5^2 = 25\), άρα \(\sqrt{25} = 5\).
      • \(7^2 = 49\), άρα \(\sqrt{49} = 7\).
      • \(8^2 = 64\), άρα \(\sqrt{64} = 8\).
      • \(11^2 = 121\), άρα \(\sqrt{121} = 11\).
  2. Υπολογισμός Ριζών Δεκαδικών Αριθμών: Να υπολογιστούν οι ρίζες \(\sqrt{16}, \sqrt{0,16}, \sqrt{0,0016}\).
    • Λύση:
      • \(4^2 = 16\), άρα \(\sqrt{16} = 4\).
      • \((0,4)^2 = 0,16\), άρα \(\sqrt{0,16} = 0,4\).
      • \((0,04)^2 = 0,0016\), άρα \(\sqrt{0,0016} = 0,04\).
  3. Εύρεση Πλευράς σε Ορθογώνιο Τρίγωνο: Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι \(3,5\) και η μία κάθετη πλευρά \(2,8\). Να βρεθεί η άλλη κάθετη πλευρά \(\beta\).
    • Λύση: Από το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει \(\beta^2 + 2,8^2 = 3,5^2\).
      • \(\beta^2 + 7,84 = 12,25 \Rightarrow \beta^2 = 4,41\).
      • Επομένως, \(\beta = \sqrt{4,41} = 2,1\).
  4. Υπολογισμός Υποτείνουσας: Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι \(15\text{ cm}\) και \(20\text{ cm}\). Να υπολογιστεί η υποτείνουσα \(B\Gamma\).
    • Λύση: Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε \(B\Gamma^2 = 15^2 + 20^2\).
      • \(B\Gamma^2 = 225 + 400 = 625\).
      • Άρα, \(B\Gamma = \sqrt{625} = 25\text{ cm}\).
  5. Προσέγγιση Άρρητου Αριθμού: Να βρεθεί η ρητή προσέγγιση του \(\sqrt{13}\) με τρία δεκαδικά ψηφία.
    • Λύση: Με διαδοχικές δοκιμές τετραγώνων βρίσκουμε ότι \(3,605^2 = 12,996\) και \(3,606^2 = 13,003\).
    • Άρα, η προσέγγιση του \(\sqrt{13}\) είναι \(3,605\).

1.3 Προβλήματα Καθημερινής Πρακτικής & Επιστημών

  1. Αρχιτεκτονική (Τετραγωνική Βάση): Μια αρχιτέκτων πρέπει να χτίσει σπίτι με τετραγωνική βάση εμβαδού \(289\text{ m}^2\). Ποιο πρέπει να είναι το μήκος \(x\) κάθε πλευράς;

    • Λύση: Το εμβαδό τετραγώνου είναι \(E = x^2\).
    • Πρέπει \(x^2 = 289\), οπότε αναζητούμε την τετραγωνική ρίζα του \(289\).
    • Με δοκιμές βρίσκουμε ότι \(17^2 = 289\), άρα \(x = \sqrt{289} = 17\text{ m}\).

  2. Χωροταξία (Μεταφορά Επίπλου): Μπορούμε να σηκώσουμε όρθιο ένα ντουλάπι ύψους \(2,1\text{ m}\) και πλάτους \(0,7\text{ m}\) σε ένα δωμάτιο ύψους \(2,2\text{ m}\);

    • Λύση: Για να σηκωθεί, πρέπει η διαγώνιος \(\delta\) του ντουλαπιού να είναι μικρότερη ή ίση με το ύψος του δωματίου (\(2,2\text{ m}\)).
    • \(\delta^2 = 2,1^2 + 0,7^2 = 4,41 + 0,49 = 4,90\).
    • \(\delta = \sqrt{4,90} \approx 2,21\text{ m}\).
    • Επειδή \(2,21 > 2,2\), δεν μπορούμε να σηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι.

  3. Γεωγραφία/Αποστάσεις (Οδοιπορικό): Κατά τη μετακίνηση από την πόλη Α στην πόλη Β (\(20\text{ km}\)) και μετά στο χωριό Γ (\(13\text{ km}\)), όπου οι διαδρομές είναι κάθετες, ποια είναι η απόσταση ΑΓ;

  • Λύση: Η απόσταση ΑΓ είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου.
  • \(A\Gamma^2 = 20^2 + 13^2 = 400 + 169 = 569\).
  • Άρα, \(A\Gamma = \sqrt{569} \approx 23,85\text{ km}\).

1.4 2. Ασκήσεις για Εξάσκηση

1.4.1 Α. Υπολογισμός Ριζών

  1. Να υπολογίσετε τις ρίζες: \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{0,81}\) και \(\sqrt{8100}\).

  2. Να βρείτε τις τιμές: \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{1,21}\) και \(\sqrt{0,0121}\).

  3. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: \(\sqrt{\frac{9}{4}}\) και \(\sqrt{\frac{144}{25}}\).

  4. Υπολογίστε τις τιμές: \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{0,04}\), \(\sqrt{400}\) και \(\sqrt{40000}\).

  5. Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων: \(\sqrt{\frac{400}{49}}\) και \(\sqrt{\frac{36}{121}}\).

  6. Υπολογίστε τους αριθμούς: \(\sqrt{36}\) και \(\sqrt{18+18}\).

  7. Βρείτε το αποτέλεσμα των πράξεων: \(\sqrt{18 \cdot 18}\) και \((\sqrt{18})^2\).

  8. Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις για θετικό \(x\):

  • \(x^2 = 16\)

  • \(x^2 = 121\).

  1. Υπολογίστε με προσέγγιση τριών δεκαδικών ψηφίων τις ρίζες: \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{50}\) και \(\sqrt{72}\).

  2. Υπολογίστε την τιμή της σύνθετης παράστασης: \(\sqrt{7+\sqrt{2+\sqrt{1+\sqrt{9}}}}\)

  3. Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα της παράστασης: \(\sqrt{32+32}\) και \(\sqrt{12 \cdot 12}\).

  4. Να αποδείξετε ότι: \(\sqrt{\sqrt{4} + \sqrt{9} + 2} = 2\).

  5. Να συμπληρώσετε τον κατάλληλο αριθμό στο κουτάκι ώστε να ισχύει: \((\sqrt{x})^2 = 5\).

  6. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) \(x^2 = 9\), (β) \(x^2 = 64\), (γ) \(x^2 = \frac{100}{81}\).

1.5 Β. Προβλήματα

  1. Πρόβλημα Κατασκευής: Μια αρχιτέκτονας πρέπει να χτίσει ένα σπίτι με τετραγωνική βάση εμβαδού 289 \(m^2\). Ποιο πρέπει να είναι το μήκος \(x\) κάθε πλευράς της βάσης;.

  2. Προσέγγιση Πλευράς: Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 12 \(cm^2\). Να βρείτε, με προσέγγιση εκατοστού, το μήκος της πλευράς του.

  3. Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι 13 cm και η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος 5 cm. Χρησιμοποιήστε την τετραγωνική ρίζα για να βρείτε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς.

  4. Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι \(3\text{ cm}\) και \(4\text{ cm}\). Να υπολογίσετε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας ρίζα.

  5. Να βρείτε τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου με διαστάσεις \(65\text{ m}\) και \(72\text{ m}\).

1.6 Ερωτήσεις Κατανόησης (Σωστό/Λάθος)

  • Η σχέση \(\sqrt{16} = 8\) είναι σωστή; (Λάθος, είναι 4).
  • Ισχύει ότι \(\sqrt{16+9} = 5\); (Σωστό, γιατί \(\sqrt{25} = 5\)).
  • Υπάρχει η ρίζα \(\sqrt{-9}\); (Λάθος, δεν υπάρχει για αρνητικούς).
  • Αν \(x > 1\), τότε \(\sqrt{x} < x < x^2\); (Σωστό)
  1. Σχέση \(y = \sqrt{x}\): Αν \(y = \sqrt{x}\) για δύο αριθμούς \(x, y\), ο αριθμός \(x\) πρέπει να είναι πάντα θετικός ή μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, επιλέξτε ποια από τις παρακάτω σχέσεις ισχύει: α) \(x^2 = y\), β) \(y^2 = x\) ή γ) \(x^2 = y^2\).
  2. Λύσεις Εξίσωσης: Η εξίσωση \(x^2 = 16\) έχει ως λύσεις: α) μόνο το 4, β) μόνο το -4, ή γ) το 4 και το -4;.
  3. Αντιστοίχιση Ριζών: Αντιστοιχίστε τους αριθμούς της πρώτης στήλης με την τετραγωνική τους ρίζα στη δεύτερη στήλη:
Αριθμοί Τετραγωνική ρίζα
81 7
16 9
49 4
25 12
144 5
  1. Έλεγχος Ισοτήτων: Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ):
    • \(\sqrt{16} = 8\).
    • \(\sqrt{9} = 3\).
    • \(\sqrt{0,4} = 0,2\).
    • \(\sqrt{100} = 50\).
  2. Ρίζα Αθροίσματος: Εξετάστε αν η πρόταση \(\sqrt{16+9} = 5\) είναι σωστή και εξηγήστε αν το αποτέλεσμα της ρίζας ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ριζών των προσθετέων.
  3. Ρίζες Αρνητικών Αριθμών: Εξηγήστε γιατί η παράσταση \(\sqrt{-9}\) δεν έχει νόημα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
  4. Εύρεση Αγνώστου \(x\): Αν γνωρίζετε ότι \(\sqrt{x} = 9\), ποια είναι η τιμή του \(x\); Επιλέξτε ανάμεσα στα:
    • α) 3,
    • β) 81,
    • γ) ±81,
    • ή δ) η σχέση είναι αδύνατη.
  5. Ύπαρξη Λύσης: Είναι δυνατόν να βρεθεί θετικός αριθμός \(x\) τέτοιος ώστε \(\sqrt{x} = -16\); Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
  6. Προσέγγιση Άρρητων: Αν ο αριθμός \(\sqrt{2}\) βρίσκεται ανάμεσα στο 1,41 και το 1,42, πώς ονομάζονται οι αριθμοί 1,41 και 1,42 σε σχέση με τη \(\sqrt{2}\);.
  7. Σύγκριση Μεγεθών: Αν ένας αριθμός \(a\) είναι μεγαλύτερος από το 1 (π.χ. \(a=9\)), τοποθετήστε σε σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς \(\sqrt{a}, a, a^2\).
Σημαντικό

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !